控制理论拾遗：内模原理

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稳态误差

本科自动控制原理教材在讨论稳态误差时，通常会介绍系统型别和静态误差系数法。对于单位负反馈系统，通过位置、速度和加速度误差系数，可以快速判断阶跃、斜坡和加速度信号输入下的稳态误差。

例如，I型系统能够无静差跟踪阶跃输入，II型系统还能无静差跟踪斜坡输入。但有一个很自然的问题：如果参考输入不是多项式形式，比如正弦信号，怎样才能保证稳态误差为零？「系统是几型」已经无法直接回答这个问题。要回答它，需要一个更加一般的理论，即内模原理（Internal Model Principle）。

内模原理

考虑单位负反馈系统，被控对象、控制器和参考输入分别为

误差信号为

对于讲义所讨论的参考信号，即 的极点满足，要使，需要同时满足：

  1. 闭环极点全部严格位于左半平面，即
  2. 是的因子，即存在多项式，使

第二个条件意味着，系统必须包含参考信号的动态结构。如果被控对象本身不包含这种结构，就需要由控制器提供。

因此，内模原理可以直观地概括为：要想对某类持续存在的信号实现零稳态误差，系统中必须包含产生这类信号的动态模型，同时保证闭环稳定。

直观理解

"… You only learn the shape of the river; and you learn it with such absolute certainty that you can always steer by the shape that's in your head, and never mind the one that's before your eyes."

Mark Twain, Life on the Mississippi, 1883

这句话非常形象地表达了内模原理的思想。一个熟练的领航员并不是看到船偏了才临时判断河流怎么走，而是在脑中已经有一幅河流的「模型」，知道河道本身的变化规律，再根据实际偏差不断修正航向。

控制系统也是如此。普通反馈主要依据误差进行纠正。如果参考信号一直在变化，而控制器本身并不知道这种变化遵循什么规律，它只能不断追赶目标：出现误差，进行纠正；参考又发生变化，再产生新的误差，再进行纠正。增大反馈增益可以把这种误差压得很小，但并不能从结构上保证误差一定趋于零。

内模原理所谓「包含目标的运动规律」，在传递函数中有一个非常直接的表现。常值信号的Laplace变换为，因此控制器中包含积分环节，就相当于在系统内部包含了常值信号的模型。类似地，正弦信号的Laplace变换为，控制器中包含，就相当于复制了这种正弦信号的动态结构。

有了这样的内部模型，反馈在暂态过程中不断修正系统与理想运动之间的偏差。在闭环稳定的条件下，系统最终能够与目标按照相同的规律运动，使跟踪误差趋于零。

因此，可以把内模原理直观地理解为：普通反馈依靠误差不断追赶目标；内模控制则把目标的运动规律放进系统内部，再利用反馈不断校正偏差，使系统最终能够与目标按照同样的规律运动。

正弦输入

考虑一个简单的被控对象，希望系统跟踪，因此。先采用比例控制器，则有

这里需要注意，是参考输入带来的极点，并不是闭环系统自身的极点。闭环误差传递函数为，其极点只有，所以闭环系统本身是稳定的。但是，稳定系统受到持续正弦输入后仍会产生持续的正弦稳态响应，而且其幅值和相位通常与输入信号存在差异。因此，系统虽然稳定，却不能无误差地跟踪。

根据内模原理，的动态结构由决定，即极点。因此可以选取含有这一内模的控制器，例如

此时

闭环特征多项式的根全部严格位于左半平面，因此闭环稳定。同时，参考信号对应的已从误差响应中消失，最终有，稳态误差为零。

总结

再回头看静态误差系数法。阶跃、斜坡和抛物线输入分别对应、、，因此要实现零稳态误差，系统分别需要包含一个、两个和三个原点极点。这解释了教材按开环原点极点个数划分0型、I型、II型的原因：I型含一个积分器，可无静差跟踪阶跃；II型含两个积分器，可无静差跟踪斜坡。正弦信号则对应一对的内模极点。

因此，系统型别和静态误差系数法并不是一套孤立的计算技巧，而是内模原理在多项式参考输入下的具体体现。

参考资料

  1. Purdue University ECE 382: The Internal Model Principle
  2. Modern Control Systems, Richard C. Dorf and Robert H. Bishop
  3. THE INTERNAL MODEL PRINCIPLE OF CONTROL THEORY: A QUICK INTRODUCTION